Posts tagged ‘mathematics’

24/05/2013

לקראת מתמטיקה ללא שיוויון? מבוא לתורת הטיפוסים ההומוטופית

מתן פרזמה


בקיץ שעבר קראנו ביחד, מתן פרזמה ומתן קמינר, כמה פסקאות שנוגעות למתמטיקה ב"הקדמה לפנומנולוגיה של הרוח" מאת ג.וו.פ. הגל. הפוסט שלפניכם הוא גלגול של מחשבות של מתן פ' על ההשלכות של טענותיו הביקורתיות של הגל על המתמטיקה ושל קריאות של ההדיוטות מתן ק' ואופיר פוירשטיין בטיוטות קודמות. אני (מתן ק') חייב להודות שעדיין לא הבנתי הכול, אבל השכלתי ולמדתי מהניסיון וככזה אנחנו שמחים להגיש אותו לקוראי "עתידות" שחיכו ודאי בנשימה עצורה שנתעורר משנת החורף הארוכה שלנו.

בשנים האחרונות הולכת ומתפתחת בסביבה הקרובה אלי תורה מתמטית בעלת פוטנציאל לשנות את הדרך שבה אנו חושבים על המתמטיקה. 'תורת הטיפוסים ההומוטופית' היא מיזוג של שתי תורות מקצוות מנוגדים במתמטיקה – השימושי והתיאורטי: תורת הטיפוסים ותורת ההומוטופיה. התורה הראשונה היא לוגיקה נפוצה מאז שנות השבעים במדעי המחשב המשמשת כמודל לשפות תכנות, כלומר בצד השימושי, ואילו השניה קיימת מאז שנות השישים כמעין תורה לגיאומטריה של גומי ומשוייכת לצד התיאורטי; השם הומוטופיה מתייחס לעיוות רציף (כלומר בלי לקרוע) של צורה גיאומטרית כאילו הייתה עשוייה גומי (ראו איור מוויקפדיה).

מקובל לחשוב על הלוגיקה המתמטית כתורה שמטרתה להניח יסודות למתמטיקה כולה. כשאני מדבר על "הנחת יסודות" כוונתי היא שהלוגיקה תאפשר להצרין (או לקודד) כל טענה וכל הוכחה שנכתבות בטקסט מתמטי. הצרנה כזאת מאפשרת, לפחות באופן תיאורטי, לבדוק באמצעות מחשב את נכונותה של כל הוכחה שהיא. ואמנם, הלוגיקה של היום (המבוססת על תורת הקבוצות) מאפשרת, באופן תיאורטי, להצרין כל טענה והוכחה ולכן גם לבדוק את ההוכחות באמצעות מחשב. אלא שהמתמטיקה המתקדמת שנעשית היום רחוקה מאוד מתורת הקבוצות ולכן הצרנתה, כלומר ניסוחה במונחי תורת הקבוצות, דורשת משאבים אנושיים אדירים. בשל קושי זה, כתבי עת אינם משתמשים בבדיקה ממוחשבת של הוכחות אלא שולחים מאמרים לבדיקה וחוות דעת של עמיתים, ואישור העמיתים מהווה מעין חותמת נכונות. הערכה רווחת היא שכ-10%(!) מהמאמרים בכתבי העת מכילים טעויות בחלק מהוכחותיהן.

תורת הטיפוסים ההומוטופית היא לוגיקה מסוג חדש, שאינה מבוססת על תורת הקבוצות אלא על גיאומטריה.

אדריכלה של לוגיקה חדשה זו, ולדימיר ווֹאבוֹדסקי, התפרסם דווקא בזכות עבודה בעניין אחר, אך קשור, שזיכתה אותו בפרס פילדס היוקרתי. הלוגיקה החדשה מנסה להניח את היסודות למתמטיקה באופן ששואב את אפקטיביות החישוב של תורת הטיפוסים מחד, ואת ה"גמישות" שבהומוטופיה מאידך. עניין זה נועד להפוך את ההצרנה למשימה פשוטה יותר, ואם הניסיון יעלה יפה הרי שיתאפשר גם להחליף את ביקורת העמיתים בבדיקה ממוחשבת של הוכחות. כך יתפנה למתמטיקאים השותפים לביקורת זמן למחקר והטעויות יצומצמו כמעט לאפס.

ב"הקדמה לפנומנולוגיה של הרוח" ג.וו.פ. הגל מבסס את הביקורת שלו על אופייה (הלא דיאלקטי) של המתמטיקה בין השאר על אי יכולתה של המתמטיקה (בת זמנו) להכיל את מה שמכונה כיום "דפורמציה", כיוון שמושג השיוויון חוטא להבנת אופיים המתפתח של אובייקטים. לדידו, השיוויון הוא סטטי ופורמאלי ומכאן שאינו יכול לבטא את המציאות כפי שהיא באמת. ואכן, הלוגיקה של תורת הקבוצות, שנוסחה כפי שאנו מכירים אותה היום רק אחרי הגל, מונה את התכונה שאליה התנגד: מושג השיוויון מעוגן באקסיומה. לאור זאת, נראה שתורת הטיפוסים ההומוטופית מתקנת פגם משמעותי שעליו הצביע הגל.

במתמטיקה ניתן לחשוב על משפט (כלומר, טענה ביחד עם הוכחתה) כטאוטולוגיה כיוון שהטענה היא מסקנה של האקסיומות שבתורן מהוות טאוטולוגיות יסודיות. צחוק הדיאלקטיקה הוא שדווקא ביטול השיוויון מקל על ייצורם של משפטים בכך שהוא מקרב אותנו לאופי הטאוטולוגי של המשפט. זאת ועוד, לאור מחשוב בדיקת ההוכחות בלוגיקה החדשה, הרי שביטול השיוויון ברמה התיאורטית מקרב אותנו לוודאות ברמה המעשית.

בפוסט הזה אנסה לפרוש את הרקע לרעיונות של תורת הטיפוסים ההומוטופית ולהסבירם במונחים נהירים למי שאינם בקיאים בתחום. לעת עתה אתמקד בביטול מושג השיוויון, בתקווה שבחירה זו תקל על עיכול הרעיון. במוקד יעמוד מושג האיזומורפיזם, המגיע מתורת הקטגוריות הגבוהה. את החיבור לרעיונות הומוטופיים אני מקווה לעשות בפוסט נוסף, אבל נדמה לי שכבר כאן ניתן יהיה לקבל תחושה לגבי התמונה הכללית.

קשה לתת מקורות טובים לקורא/ת מן השורה, אבל אפשר לנסות את ששת הפוסטים 'Homotopy Type Theory I-VI' של מייק שולמן (Shulman) שהתפרסמו ב-'n-Category Cafe' ואת הערכים הרלוונטים בוויקי המופלא 'nLab'.

תודה מיוחדת מסורה למתן קמינר ואופיר פוירשטיין על עזרתם הגדולה בעריכת הטקסט והנגשתו.

 

ולענייננו:

הלוגיקה הנהוגה כיום מבוססת על תורת הקבוצות ועל האפשרות לבטא כל מושג מתמטי על ידי רדוקציה לקבוצות. קבוצה, נקרא לה A, היא אוסף של איברים (שאינו בהכרח סופי) כך שלגבי כל עצם x ניתן לקבוע האם x הוא איבר של A או לא. כאשר אנו מפרטים את איברייה של קבוצה A אנו תוחמים את פירוט האיברים בסוגריים מסולסלים ומפרידים בפסיק בין כל איבר ואיבר. לדוגמא, הסימון A=\{x,y,z\} משמעו ש-A הינה הקבוצה שאיבריה הם x,y ו z. ניתן גם להגדיר קבוצה גם ע"י כלל כניסה: הסימון A=\{x|x\;is\;a\;number>1\} משמעו ש-A היא קבוצת כל ה-x-ים שהם מספרים גדולים מ-1. בעזרת דקדוק זה ניתן להגדיר את הקבוצה הריקה, כלומר זו שאין לה אף איבר:

\phi=\{x|x\neq x\}

בקבוצה הריקה ניתן להשתמש כעוגן. אם למשל נרצה להגדיר את המספרים, נוכל להתחיל בלומר ש-0:=\phi  ולהמשיך כך ש 1:=\{\phi\}  ו-2:=1\cup\{1\}  (הסימן  משמעו איחוד של קבוצות). בעברית, המספר 1 הוא הקבוצה שאיברה (היחיד) הוא הקבוצה הריקה, והמספר 2 הוא הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה ואת 1. באופן אינדוקטיבי, אם כבר הגדרנו את השלם החיובי n בתור קבוצה, נוכל להגדיר n+1:=n\cup\{n\} . בתהליך זה, הגדרנו את כל השלמים האי-שליליים כקבוצות. ניתן להמשיך ולהגדיר את השלמים השליליים, לאחריהם את השברים ולבסוף את כלל המספרים. גם את פעולות החיבור והכפל בין מספרים ניתן להגדיר כקבוצות. עבור המספרים 1-10 לוח הכפל ניתן לתיאור כקבוצה, ובעצם ניתן לתאר את הכפל (ובדומה את החיבור) בין כל שני מספרים באמצעות קבוצה שהיא מעין "לוח כפל" אינסופי.

 אם כך, הצרנת מושגים בלוגיקה של תורת הקבוצות היא פעולה של רדוקציה: כאשר דוחקים בנו לתת הגדרה רשמית, אנו נאלצים לחשוב על כל מספר כעל קבוצה. אבל מתמטיקאים לא באמת נוהגים לחשוב ככה על מספרים. מתמטיקאי שאינו עוסק בלוגיקה מתייחס בד"כ לתהליך שתיארנו עתה כאל רע הכרחי שצריך לעבור פעם אחת (ולתמיד) כדי לוודא שהמתמטיקה אכן עומדת על יסודות מוצקים.

 ומה לגבי תורת הטיפוסים ההומוטופית?

אחד המאפיינים של המתמטיקה במאה העשרים הוא שכלול הכלים הגיאומטריים לצורך פתרון בעיות כלליות, כלומר שאינן בהכרח "גיאומטריות". כך לדוגמא, אם נחשוב על הפתרונות של המשוואה y=x^2  כעל נקודות שיוצרות פרבולה, ההתנהגות הגיאומטרית של הפרבולה (למשל קיומה של נקודת מינימום) תלמד אותנו משהו על התנהגות פתרונותיה של המשוואה. חשיבה מסוג זה אופיינית לתחום הנקרא 'גיאומטריה אלגברית' שהתפתח במקביל לתורת ההומוטופיה; העבודה שזיכתה את וואבודסקי בפרס פילדס עסקה בשיטות הומוטופיות בגיאומטריה אלגברית.

היופי הגדול של תורת הטיפוסים ההומוטופית הוא שאת הרדוקציה של מושגים לתורת הקבוצות מחליפה "העשרה" וירטואלית בגיאומטריה. למעשה, כל אבני הבניין בלוגיקה החדשה הם אובייקטים כמו-גיאומטריים.

אבל, כיוון שקיומה של לוגיקה (מטבע הדברים) קודם לקיומו של כל אובייקט מתמטי אחר, הרי שהאובייקטים בתורת הטיפוסים ההומוטופית אינם יכולים להיות באמת גיאומטריים. הסיבה שנהוג לחשוב עליהם ככאלו נובעת מהאקסיומות שהם נדרשים לקיים. האחרונות נוסחו באופן שמנסה לזקק תכונות גיאומטריות מהעולם הגיאומטרי ה"אמיתי", ולכן אנו מצפים שההתנהגות של האובייקטים תדמה לגיאומטריה מסוג מסוים.

האובייקטים בתורת הטיפוסים ההומוטופית נקראים 'n-טיפוסים' (n שלם חיובי) ואוסף כל ה-n-טיפוסים מייצג בשבילנו משפחה של צורות גיאומטריות. באופן סכימטי, משפחת ה-n-טיפוסים היא האוסף של כל הצורות הגיאומטריות שאין להן "הומוטופיה ממימד גדול מ-n". מכאן שהמשפחות מסודרות ביניהן ביחס הכלה, כך שאוסף ה-n-טיפוסים הוא חלקי לאוסף ה n+1-טיפוסים, לכל n. כאמור, בתורת הטיפוסים ההומוטופית אין שיוויון אבל שני אובייקטים השייכים (למשל) למשפחת ה-n-טיפוסים יכולים להיות 'שקולים הומוטופית'. לשם המחשה, בגיאומטריה ה"אמיתית", שתי צורות נקראות שקולות הומוטופית אם ניתן לעוות באופן רציף אחת לכדי השניה. לדוגמא, שתי המסילות המקווקות שבאיור מוויקיפדיה שקולות הומוטופית  — הקו השלם שזז ביניהן מייצג את הדרך שבה ניתן לעבור באופן רציף מאחת לשניה. מעגל יהיה מטיפוס הומוטופיה אחר מזה של מסילה כיוון שלא ניתן לעוות אותו באופן רציף (כלומר מבלי לקרוע אותו) לכדי מסילה כמו בציור.

בסיטואציה הומוטופית לא נרצה לדבר על "שוויון" כיוון שאנו רוצים את הגמישות שבעיוות רציף – שתי המסילות בציור אינן שוות אך אנו רוצים להתייחס אליהן כשקולות. השאלה הגדולה היא למה סביר לצפות שעקרון דומה יעבוד בחלקים אחרים של המתמטיקה – אם תורת הטיפוסים ההומוטופית יכולה להוות בסיס לכלל המתמטיקה, הרי שצריך יהיה לראות "התנהגות הומוטופית" בכל מקום. בשלב ראשון נציב לעצמינו מטרה צנועה בהרבה: כיצד עולה הצורך להיפתר מהשיוויון בהקשרים מתמטיים "קשיחים"? לשם כך נדבר על תורת הקטגוריות וזו תהיה הדוגמא היחידה שנעסוק בה מכאן ואילך. אבל הפשרה היא לא כ"כ גדולה: תורת הקטיגוריות (הגבוהה) מסוגלת לתפוס חלקים רחבים של ההוויה המתמטית.

הרעיון הבסיסי של תורת הקטגוריות הוא החשיבה על מתמטיקה כמחולקת לתחומים. כל 'קטגוריה' היא מעין עולם מתמטי, או אוסף של אובייקטים. לכל זוג אובייקטים X,Y מתקיימת במסגרת הקטגוריה קבוצה של 'מורפיזמים' מ-X ל-Y, שעליהם ניתן לחשוב כמעין חצים המחברים בין שני האיברים. כך הם גם מסומנים: "f הוא מורפיזם מ-X ל-Y" נכתב f:X\rightarrow Y  .בנוסף, אם נתונים לנו שני מורפיזמים, f  מ-X ל-Y ו g מ-Y ל-Z, הקטגוריה מספקת לנו 'כלל הרכבה' שלועס את שני המורפיזמים האלו ויורק החוצה מורפיזם שלישי, המסומן ב-g\circ f  מ-X ל-Z. לבסוף, יש לנו לכל אובייקט X, מורפיזם מ-X לעצמו, מעין חץ סיבובי, הנקרא 'מורפיזם הזהות של X' ומסומן ב-id_X . כלל ההרכבה נדרש לקיים שני דברים. ראשית, לכל X, ההרכבה של מורפיזם הזהות של X עם מורפיזם f מ- או ל-X  נותנת את f עצמו כלומר f\circ id_X=f  ו id_X\circ f=f  (כך, מורפיזם הזהות הוא אדיש להרכבה, כפי שהמספר 1 אדיש לכפל עם מספרים אחרים). שנית, הרכבה של מורפיזמים נדרשת להיות 'אסוציאטיבית', בכך שאם נתונים לנו שלושה מורפיזמיםf:X\rightarrow Y,\;g:Y\rightarrow Z\;h:Z\rightarrow W    אז (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f) .

דוגמא יסודית היא קטגוריית הקבוצות. האובייקטים שלה הם (כל) הקבוצות ובהינתן שתי קבוצות X ו-Y מורפיזם ביניהן הוא פונקציה f מ-X ל-Y, כלומר כלל המשייך לכל איבר x ב-X איבר (יחיד) ב-Y המסומן ב-(f(x. מורפיזם הזהות של X הוא פונקציית הזהות על X המשייכת לאיבר x ב-X את עצמו ואם נתונות לנו שתי פונקציות, f:X\rightarrow Y  ו-  g:Y\rightarrow Z , אז ההרכבה שלהן היא פונקציה g\circ f:X\rightarrow Z  המשייכת לאיבר x ב-X את האיבר g(f(x))  ב-Z (וזהו אכן כלל הרכבה של קטגוריה במובן שהוגדר לעיל). דוגמאות טיפוסיות נוספות הן קטגורית החבורות, המרחבים הווקטורים והמרחבים הטופולוגיים ובכולן עובד אותו עיקרון: האובייקטים הם קבוצות עם מבנה נוסף והמורפיזמים הם פונקציות 'משמרות מבנה' בין קבוצות אלו.

למה הכוונה במבנה? לשם המחשה, נתאר אובייקטים עם מבנה פשוט למדי הנקראים מונואידים. אבל הנקודה החשובה מבחינתינו היא לא תיאור כל מונואיד בנפרד אלא תיאור קטגורית (כל) המונואידים.

מונואיד הוא קבוצה שיש לה מעין "לוח כפל", כלומר, כלל המאפשר להזין לתוכו זוג איברים כלשהו מהקבוצה ולקבל איבר שלישי באותה קבוצה. אפשר לחשוב על הכלל כפעולת כפל בין מספרים ונכתוב xy עבור התוצאה שהכלל מחזיר כאשר מזינים לו את זוג האיברים (x,y). אנו דורשים מהכלל שיקיים רק תכונה אחת, הנקראת 'אסוציאטיביות': לכל שלשת איברים x,y,z יתקיים (xy)z=x(yz).

אם המונואיד הוא כלל כפל על קבוצה בעלת מספר סופי של איברים, אז ניתן לכתוב מערך שבו השורה והעמודה הם איברי הקבוצה, מסודרים בסדר שרירותי שבחרנו מראש, ובכל תא במערך נמצאת התוצאה שהכלל מחזיר כאשר מזינים לתוכו שני מספרים. דוגמא יסודית למונואיד היא קבוצת המספרים השלמים החיוביים ביחד עם פעולת הכפל הרגילה. דוגמא אחרת, גיאומטרית יותר, היא שעון אנלוגי (כזה עם מחוגים). כל נקודה על השעון (נגיד השעה 3:30) היא איבר בקבוצה. כלל הכפל לוקח שתי נקודות על השעון, מתייחס לשנייה מביניהן כאל טווח זמן (נגיד שעתיים), ומחזיר את השעה שיוצאת כשמוסיפים את טווח הזמן השני לשעה הראשונה (במקרה שלנו, 5:30).

בהינתן שני מונואידים M,N אנחנו יכולים לדבר על מורפיזם ביניהם. מורפיזם מ-M ל-N הוא פונקציה f:M\rightarrow N  שמכבדת את מבנה הכפל בכך ש f(xy)=f(x)f(y)  לכל x,y ב-M (הכפל בצד ימין הוא זה של המונואיד N).

אם אנו מתעניינים בפעולות "כפל", טבעי שנסתכל על קטגוריית המונואידים. בקטגוריה זו אוסף האובייקטים הוא (כל) המונואידים ובין שני מונואידים נתונים  M ו-N אוסף המורפיזמים מ-M ל-N הוא אוסף כל המורפיזמים של מונואידים f:M\rightarrow N . לכל מונואיד M יש לנו את פונקציית הזהות על הקבוצה של M, id_M:M\rightarrow M שהיא מורפיזם של מונואידים ואם נתונים לנו שני מורפיזמים של מונואידים  אז ההרכבה שלהם מוגדרת כהרכבה של הפונקציות המתארות אותם וחשבון פשוט יראה שהרכבה זו היא אכן מורפיזם של מונואידים.

הרעיון המקורי של תורת הקטגוריות הוא לחלק את המתמטיקה לעולמות (קבוצות, מונואידים,…) באופן כזה שיאפשר לנסח בעיה בעולם אחד, לתרגם אותה לעולם אחר בו, בתקווה, ניתן לפתור אותה ביתר קלות, ואז לתרגם את הפתרון לעולם המקורי. לדוגמא, אם אנו מתעניינים בקבוצות שיש להן שתי פעולת כפל שונות (לאחת מהן אפשר לקרוא, לצורך ההמחשה, "חיבור"), אנו יכולים להגדיר קטגוריה מתאימה בשביל אלו. אז, בהינתן בעיה בקטגוריה זו, אנחנו יכולים "לתרגם” אותה לשתי בעיות נפרדות בקטגורית המונואידים: אחת כאשר אנו שוכחים מפעולת הכפל הראשונה ואחרת כאשר אנו מתעלמים מפעולת הכפל השניה (החיבור). אם התמזל מזלנו, נוכל לפתור כל בעיה כזו בנפרד ואז לחבר יחד את הפתרונות ולמצוא פיתרון לבעיה המקורית.

אחד המושגים המרכזיים בדקדוק הקטגורי הוא 'איזומורפיזם'. שני אובייקטים X ו-Y בקטגוריה נתונה הם 'איזומורפיים' (ביוונית, "בעלי אותה צורה") אם קיימים מורפיזמים f:X\rightarrow Y\;,\; g:Y\rightarrow Z כך שההרכבות מקיימות g\circ f=id_X ו-f\circ g=id_Y כלומר שוות (בהתאמה) למורפיזם הזהות של X ומורפיזם הזהות של Y. במקרה זה, אומרים על f (ובדומה על g) שהוא איזומורפיזם מ- X ל-Y) Y ל-X). לכל שני אובייקטים איזומורפיים יש בדיוק אותן תכונות קטגוריות. לדוגמא, שתי קבוצות סופיות של איברים הן איזומורפיות אם ורק אם הן בעלות אותו מספר איברים.

בדומה, שתי קבוצות בעלות לוח כפל (מונואידים) יהיו איזומורפיות אם (ורק אם) ניתן לשנות את שמות האיברים של הקבוצה הראשונה לשמות האיברים של הקבוצה השניה (ולהיפך), כך שלאחר שנמיר את לוח הכפל של הקבוצה הראשונה לאור שינוי השמות נקבל לוח כפל זהה לזה של הקבוצה השניה. מ"פונקציית שינוי השמות" f:X\rightarrow Y אנו דורשים שאת שם התא בלוח הכפל של X שהעמודה של x והשורה של y מצטלבות בו תשנה לשם התא בלוח הכפל של Y המתאים להצלבה של העמודה של f(x) והשורה של f(y) . במקרה כזה, שינוי שמות האיברים של X לשמות האיברים של Y הוא מורפיזם של מונואידים f:X\rightarrow Y , שינוי שמות האיברים של Y ל-X הוא מורפיזם של מונואידים g:Y\rightarrow X ואנו רוצים שאם נפעיל את פונקציית שינוי השמות f על איברי X ועל התוצאה נפעיל את פונקציית שינוי השמות g נקבל שהשם של כל איבר ב-X זהה לשמו המקורי. זהו הפירוש האינטואיטיבי להצהרה שההרכבה g\circ f שווה למורפיזם הזהות.

מושג האיזומורפיזם שימושי בגלל שמה שמעניין אותנו באמת הוא לא שמות האיברים אלא המבנה שלהם (למשל לוח הכפל). כך, אם אנו מתעניינים בכפל של מספרים שלמים חיוביים, לא אכפת לנו (ובעצם אסור שיהיה אכפת לנו) אם הם הוצגו לנו כספרות רומיות או ערביות, כל עוד לוחות הכפל שלהם זהים לאחר המרת השמות. הלוגיקה של תורת הקבוצות, בה נוסחה תורת הקטגוריות מאפשרת לדבר על שיוויון בין אובייקטים. אך מושג האיזומורפיזם הוא הרבה יותר מעניין ממושג השוויון, ומאפשר לנו לנטוש אותו למעשה. על מנת להדגיש את הנקודה, כדאי לציין שמתמטיקאים אומרים לפעמים ששיוויון בין אובייקטים בקטגוריה הוא "מושג מרושע". מבלי להיכנס לשיפוט מוסרי, חשוב להבין שמקור האמירה הזו הוא ההבחנה שדיבור על שיוויון בין אובייקטים בקטגוריה מסיט אותנו מהמטרה שלשמה עברנו לנקודת המבט הזו: אנו מעוניינים להבין קבוצות שיש להן מבנה נוסף, ושמות האיברים בקבוצה הם לא מן העניין.

אך למעשה לא נפטרנו עדיין מהשוויון. בבואנו להגדיר מהו איזומורפיזם נדרשנו למושג השיוויון בין מורפיזמים, כשאמרנו שהפעלת שתי הפונקציות של שינוי השמות "זהה" לאי-שינוי שלהם. נפטרנו משיוויון בין אובייקטים רק באמצעות "גלגול" של השיוויון למקום אחר, לתחום המורפיזמים. אילו היו לנו עוד 'מקומות' בשפה, היינו יכולים לקוות להמשיך ולגלגל את השיוויון הלאה.

עכשיו כדאי לחזור למקום שהתחלנו בו. אנחנו מעוניינים לחשוב על קטגוריות בתור עולמות בהן אנו מנסחים את הבעיות שלנו ופתרונן. כמובן שהיינו רוצים לדעת מתי שני עולמות כאלה הם "אותו דבר" במובן שלכל בעיה שננסח בעולם אחד תהיה תמונת ראי שלה בעולם השני ופיתרון של הבעיה בעולם הראשון יהיה שקול לפיתרון של תמונת הראי שלה. מה שאנחנו רוצים הוא מושג של איזומורפיזם בין קטגוריות – אחרי הכל, קטגוריה היא בסך הכל אוסף (קבוצה של אובייקטים עם מורפיזמים ביניהם) שיש לה מבנה (כלל הרכבה), ולכן ניתן לחשוב עליה כאובייקט. אבל גם הפעם, כדי לבנות מושג של איזומורפיזם אנחנו זקוקים למושג של מורפיזם בין קטגוריות, הידוע גם בתור 'פנקטור'. בהינתן שתי קטגוריות C ו-D, פנקטור F מ-C ל-D (המסומן, בדומה לפונקציה,  ע”י F:C\rightarrow D הוא כלל שמשייך לכל אובייקט ב-C אובייקט ב-D ולכל מורפיזם ב-C מורפיזם ב-D, כך שלכל אובייקט X ב-C מתקיים F(id_X)=id_{F(X)} (כלומר שמורפיזם הזהות של אובייקט ב-C עובר למורפיזם הזהות של האובייקט ש-F נותנת לו ב-D), וכן ש-F(g\circ f)=F(g)\circ F(f) לכל זוג מורפיזמים  f:X\rightarrow Y ו- g:Y\rightarrow Z (כלומר שכל הרכבה של מורפיזמים ב-C עוברת להרכבה מתאימה ב-D). כמובן, לכל קטגוריה יש לנו את פנקטור הזהות ממנה לעצמה (הפנקטור המשייך לכל אובייקט ולכל מורפיזם את עצמם), ובאופן דומה לפונקציות יש לנו גם "כלל הרכבה" לפנקטורים. עתה אפשר לומר ששתי קטגוריות, C ו-D, הן איזומורפיות אם קיימים פנקטורים F:C\rightarrow D ו G:D\rightarrow C כך שההרכבות G\circ F ו-F\circ G שוות לפנקטורי הזהות על C ו-D (בהתאמה).

אבל רגע! במצב כזה, לכל אובייקט X ב-C, יתקיים ש-G(F(X))=X ויוצא שהשתמשנו במובלע בשיוויון בין אובייקטים, מה שמנוגד לגישתנו היסודית!

בשביל לתקן את הבעיה צריך לשנות משהו קטן: במקום שנדרוש ש-G(F(X))=X , נדרוש רק ש-X יהיה איזומורפי ל-G(F(X)) . כיוון שאנחנו רוצים איזומורפיזם כזה לכל אובייקט X, אנו מקבלים אוסף של איזומורפיזמים וכמו תמיד, היינו רוצים שהם יהיו מתואמים עם המבנה שיש לנו בהקשר הספציפי הזה, כלומר עם ההרכבות של מורפיזמים בקטגוריה. אוסף מתואם שכזה נקרא 'איזומורפיזם טבעי' בין הפנקטור G\circ F לפנקטור הזהות על C, והתיקון מביא אותנו לכדי המושג של 'שקילות בין קטגוריות'. נאמר שקטגוריות C ו-D הן שקולות אם, כמו קודם, קיימים פנקטורים F ו-G (בעלי כיוונים מנוגדים) ואיזומורפיזמים טבעיים מהפנקטור G\circ F לפנקטור הזהות על C ומהפנקטור F\circ G לפנקטור הזהות על D. למען האמת, איזומורפיזם טבעי הוא בסה"כ מקרה פרטי של מושג כללי יותר הידוע בתור 'טרנספורמציה טבעית' בין שני פנקטורים.

מושג הטרנספורמציה הטבעית מתקבל כאשר אנחנו רוצים לשנות את נקודת המבט ולחשוב על פנקטורים כעל אובייקטים באיזושהי קטגוריה שבשביל להגדירה אנו צריכים להגיד מהם המורפיזמים בין שני אובייקטים בה.

אם נתונות לנו שתי קטגוריות, C ו D, ושני פנקטורים, F ו-G, מ-C ל-D אז טרנספורמציה טבעית היא מורפיזם מ-F(X) ל-G(X) לכל אובייקט X ב-C, כלומר אוסף מורפיזמים בקטגוריה D; בנוסף, מורפיזמים אלו נדרשים להיות מתואמים עם ההרכבה בדיוק כמו קודם. במילים אחרות, איזומורפיזם טבעי הוא טרנספורמציה טבעית המקיימת תנאי נוסף וזה אנלוגי לכך שאיזומורפיזם הוא מורפיזם בעל תכונה נוספת. כך, אם אנו חושבים על פנקטור כמעין מורפיזם בין קטגוריות הרי שטרנספורמציה טבעית היא מורפיזם בין פנקטורים כלומר מורפיזם בין מורפיזמים, ולזה נהוג לקרוא גם '2-מורפיזם'.

התמונה שמתגבשת היא מבנה על אוסף כל הקטגוריות. במבנה זה, קטגוריה היא אובייקט, פנקטור בין קטגוריות הוא מורפיזם וטרנספורמציה טבעית היא 2-מורפיזם. לכל אובייקט יש לנו את מורפיזם הזהות שלו, לכל מורפיזם את 2-מורפיזם הזהות שלו ויש כללי הרכבה למורפיזמים ול-2-מורפיזמים שהם אסוציאטיביים ושמורפיזמי הזהות אדישים לגביהם. כל הדבר הזה נקרא '2-קטגוריה' ולמעשה 2-קטגוריות מופיעות בהמון מקומות (למען הדיוק נציין שב-2-קטגוריה אנו דורשים תיאום מסויים בין ההרכבות)..

והנה! השיוויון התגלגל שלב אחד הלאה: ב-2-קטגוריה לא נרצה לדבר על שיוויון בין אובייקטים או מורפיזמים אלא רק על שיוויון בין 2-מורפיזמים. אלא שהעניין לא מסתיים כאן. הסיבה שהביאה אותנו לעבור ל-2-קטיגוריה היא שלא שלא יכולנו לדבר על שקילויות בין (1-)קטגוריות באופן שלא מערב שיוויון בין אובייקטים, שהוא כזכור מושג שגוי.

אבל עתה, מהרגע שהכרנו בצורך לדבר על 2-קטיגוריות, נרצה שיהיה לנו מושג טוב של שקילות ביניהן — כזה שלא מערב שיוויון בין אובייקטים או בין מורפיזמים. בשביל לענות על צורך זה, נגדיר 3-קטגוריה וכל זאת רק בשביל להיווכח מיד שנוצר צורך חדש לעבור ל-4-קטגוריה ובאופן כללי ל-n-קטגוריה עבור שלם חיובי כללי n.

מהי n-קטגוריה? מהרגע שעברנו מ-1 ל-2, המעבר מ-2 ל n לא קשה. n-קטגוריה היא אוסף של אובייקטים; בין כל שני אובייקטים קבוצה של (1-)מורפיזמים; בין כל שני מורפיזמים בעלי אותו תחום וטווח קבוצה של 2-מורפיזמים; וכן הלאה, עד שמגיעים לשלב ה-n בו יש לכל שני (n-1)-מורפיזמים בעלי אותו תחום וטווח קבוצה של n-מורפיזמים. יש כללי הרכבה ויש מורפיזמי זהות לכל שלם חיובי k הנמצא בין 1 ל-n ואלו מקיימים תנאים אנלוגים לתנאים שמקיימם ה1- וה2-מורפיזמים ב-2-קטגוריה. העקרון שעבד ב-2-קטגוריה יהיה נכון גם פה: ב-n-קטגוריה אין לנו עניין בשיוויון בין אובייקטים, בין מורפיזמים או בין k-מורפיזמים לכל k הקטן מ-n אלא רק באיזומורפיזמים ביניהם. אבל, כפי שקרה קודם, אנו נאלצים לדבר על שיוויון בין n-מורפיזמים בכדי שנהיה מסוגלים להגדיר איזומורפיזם בשלבים קודמים; או מנקודת מבט אחרת: אם ננסה להגדיר איזומורפיזם בין שני n-מורפיזמים נראה שהמושג שלנו מתלכד עם שיוויון ביניהם כיוון שאין לנו (n+1)-מורפיזמים.

הבעיה נפתרת, כמו שקורה הרבה במתמטיקה, בעזרת "סולם" אינסופי, כלומר כאשר אנו עוברים ל-  \infty -קטגוריה ('אינסוף-קטגוריה') — כזו שבה יש n-מורפיזמים לכל שלם חיובי n. במצב כזה אפשר להגיד שנפתרנו מהשיוויון. הרי ממילא, שיוויון בין שני אובייקטים, מורפיזמים או k-מורפיזמים לכל שלם חיובי k ב-\infty -קטגוריה יהיה מושג שגוי בדיוק כפי ששיוויון בין אובייקטים בקטגוריה (רגילה) היה מושג שגוי. ראוי לציין גם שאם האקסיומות של תורת הקבוצות הן נקודת המוצא שלנו, הדקדוק עדיין יאפשר לנו לדבר על שיוויון (למשל) בין אובייקטים ב-\infty -קטגוריה. הסיבה שלא נרצה לעשות זאת  היא שאנו תמיד מעדיפים לדבר על איזומרפיזם מאשר על שיוויון, וב-\infty -קטגוריה, (לכל k) המושג של איזומורפיזם בין שני k-מורפיזמים לא מתלכד עם המושג של שיוויון ביניהם.

עכשיו אפשר להסביר עקרון מרכזי בתורת הטיפוסים ההומוטופית: אנו רוצים מסגרת אקסיומטית שתאפשר לנו להסיק (to reason) ב-\infty -קטגוריה. טבעי שבמסגרת כזו לא יהיה מושג של שיוויון וזה אכן מה שקורה. במצב כזה ניתן לומר שהתחליף שלנו לשיוויון הוא איזומורפיזם. אבל בשונה מהשיוויון יש לנו עוד מימד: שני אובייקטים יכולים להיות איזומורפיים בכמה (אולי אינסוף) דרכים שונות, כאשר כל אחת מאלה מיוצגת באמצעות איזומורפיזם ספציפי. ניתן להגיד גם שמורפיזם שאינו איזומורפיזם מייצג אי-שיוויון בין אובייקטים וגם פה יכולות להיות הרבה דרכים שבהן אובייקטים "אינם שווים".

מודעות פרסומת
תגים: , ,